Μη γραμμικές ταλαντώσεις σε μαθηματικά μοντέλα της βιολογίας
(EL)
Παλαπουγιούκ, Κοκώνα-Ραφαηλία
aegean
Στην παρούσα εργασία, ασχολούμαστε με ένα από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα μη-γραμμικών συστημάτων στο επίπεδο, που προέρχεται από τη δυναμική πληθυσμών. Το σύστημα λέγεται Lotka-Volterra και περιγράφει την αλληλεπίδραση δύο ειδών, όπου το ένα χρησιμοποιεί το άλλο ως τροφή. Η παραγωγή αυτού του συστήματος οφείλεται στον βιοφυσικό Alfred J. Lotka και στον μαθηματικό Vito Volterra. Το κίνητρο των δύο επιστημόνων για την παραγωγή και μελέτη του συστήματος ήταν ανεξάρτητο. Για τον μεν Volterra προήλθε από τα δεδομένα που είχε συγκεντρώσει ο φίλος του και θαλάσσιος βιολόγος Umberto d' Ancona σχετικά με τις αυξομειώσεις πληθυσμών ψαριών κατά την περίοδο 1914-1918. Από την άλλη μεριά, ο Lotka είχε κατασκευάσει το σύστημα από την χημική κινητική και ειδικότερα την μελέτη των λεγόμενων αυτοκαταλυτικών αντιδράσεων. Θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε μία πλήρη απόδειξη της ύπαρξης περιοδικής λύσης χρησιμοποιώντας διάφορα χρήσιμα εργαλεία όπως: τη δεύτερη μέθοδο του Liapunov ή αλλιώς άμεση μέθοδο, αναφέρεται ως άμεση διότι δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τη λύση των διαφορικών εξισώσεων. Τις καμπύλες μηδενικής κλίσης και τέλος θα παρουσιάσουμε και την αριθμητική μέθοδο του Euler, την οποία και χρησιμοποιήσαμε για να κάνουμε κάποια αριθμητικά παραδείγματα.Το συγκεκριμένο σύστημα ανταγωνισμού, είναι ένα μοντέλο κυνηγού-θηράματος και θα περιοριστούμε στην αλληλεπίδραση δύο ειδών. Στη φύση βέβαια, η κατάσταση είναι ιδιαίτερα σύνθετη, με πολλά είδη να εμπλέκονται και να αλληλεπιδρούν με πολύπλοκο τρόπο. Ωστόσο μπορούν να εξαχθούν χρήσιμα συμπεράσματα ακόμα και από σχετικά απλά μοντέλα.
